[Thuật toán] Cây căn bằng - Phần 1

Share:

1.CÂY NHỊ PHÂN CÂN BẰNG HOÀN TOÀN

1.1. Định nghĩa

Cây cân bằng hoàn toàn là cây nhị phân tìm kiếm mà tại mỗi nút của nó, số nút của cây con trái chênh lệch không quá một so với số nút của cây con phải.

1.2. Đánh giá 

Một cây rất khó đạt được trạng thái cân bằng hoàn toàn và cũng rất dễ mất cân bằng vì khi thêm hay hủy các nút trên cây có thể làm cây mất cân bằng, chi phí cân bằng lại cây cao vì phải thao tác trên toàn bộ cây. 
 Đối với cây cân bằng hoàn toàn, trong trường hợp xấu nhất ta chỉ phải tìm qua log2N phần tử (N là số nút trên cây).

Sau đây là ví dụ một cây cân bằng hoàn toàn (CCBHT):
Cây cân bằng hoàn toàn - tinhoccoban.net
Cây cân bằng hoàn toàn
CCBHT có N nút có chiều cao h » log2N. Đây chính là lý do cho phép bảo đảm khả năng tìm kiếm nhanh trên CTDL này. Do CCBHT là một cấu trúc kém ổn định nên trong thực tế không thể sử dụng. Nhưng ưu điểm của nó lại rất quan trọng. Vì vậy, cần đưa ra một CTDL khác có đặc tính giống CCBHT nhưng ổn định hơn.

2. CÂY NHỊ PHÂN CÂN BẰNG (AVL Tree)

2.1. Định nghĩa:

Cây nhị phân tìm kiếm cân bằng là cây mà tại mỗi nút của nó độ cao của cây con trái và của cây con phải chênh lệch không quá một. 

cây nhị phân cân bằng-tinhoccoban.net
Cây nhị phân cân bằng
Dễ dàng thấy CCBHT là cây cân bằng. Điều ngược lại có thể không đúng không đúng.

2.2. Lịch sử cây cân bằng (AVL Tree)

AVL là tên viết tắt của các tác giả người Nga đã đưa ra định nghĩa của cây cân bằng Adelson-Velskii và Landis (1962). Vì lý do này, người ta gọi cây nhị phân cân băng là cây AVL. Từ cây AVL, người ta đã phát triển thêm nhiều loại CTDL hữu dụng khác như cây đỏ-đen (Red-Black Tree), B-Tree, …

2.3. Chiều cao của cây AVL


Một vấn đề quan trọng, như đã đề cập đến ở phần trước, là ta phải khẳng định cây AVL có N nút phải có chiều cao khoảng log2(n).

Để đánh giá chính xác về chiều cao của cây AVL, ta xét bài toán: cây AVL có chiều cao h sẽ phải có tối thiểu bao nhiêu nút ?

Gọi N(h) là số nút tối thiểu của cây AVL có chiều cao h.

Ta có N(0) = 0, N(1) = 1 và N(2) = 2.

Cây AVL có chiều cao h sẽ có 1 cây con AVL chiều cao h-1 và 1 cây con AVL  chiều cao h-2. Như vậy:

N(h) = 1 + N(h-1) + N(h-2) (1)

Ta lại có: N(h-1) > N(h-2)
Nên từ (1) suy ra:
N(h) > 2N(h-2)
N(h) > 22N(h-4)
N(h) > 2iN(h-2i)
i =h/2
 N(h)>2h/2
  h < 2log2(N(h))
Như vậy, cây AVL có chiều cao O(log2(n)).

Ví dụ: cây AVL tối thiểu có chiều cao h=4
Cây AVL - tinhoccoban.net

2.4. Cấu trúc dữ liệu cho cây AVL


Chỉ số cân bằng của một nút: Chỉ số cân bằng của một nút là hiệu của chiều cao cây con phải và cây con trái của nó.

Đối với một cây cân bằng, chỉ số cân bằng (CSCB) của mỗi nút chỉ có thể nhận một trong ba giá trị sau đây:

CSCB(p) = 0 <=> Độ cao cây trái (p) = Độ cao cây phải (p)
CSCB(p) = 1 <=> Độ cao cây trái (p) < Độ cao cây phải (p)
CSCB(p) =-1 <=> Độ cao cây trái (p) > Độ cao cây phải (p)

Xét nút P, ta dùng các ký hiệu sau:

P->balFactor = CSCB(P);
Độ cao cây trái P ký hiệu là hleft
Độ cao cây phải P ký hiệu là hright


Để khảo sát cây cân bằng, ta cần lưu thêm thông tin về chỉ số cân bằng tại mỗi nút. Lúc đó, cây cân bằng có thể được khai báo như sau:

typedef struct tagAVLNode
{
char balFactor; //Chỉ số cân bằng
Data key;
struct tagAVLNode* pLeft;
struct tagAVLNode* pRight;
}
AVLNode;

typedef AVLNode *AVLTree;

Để tiện cho việc trình bày, ta định nghĩa một số hăng số sau:
#define LH -1 //Cây con trái cao hơn
#define EH -0 //Hai cây con bằng nhau
#define RH  1 //Cây con phải cao hơn

2.5. Đánh giá cây AVL

Cây cân bằng là CTDL ổn định hơn CCBHT vì  khi thêm, hủy làm cây thay đổi chiều cao các trường hợp mất cân bằng mới có khả năng xảy ra.

Cây AVL với chiều cao được khống chế sẽ cho phép thực thi các thao tác tìm, thêm, hủy với chi phí O (log2(n)) và bảo đảm không suy biến thành O(n).